Como o derivado externo funciona em formas diferenciais?

Ei! Eu sou alguém que administra um negócio de fornecedores de variedades e hoje quero conversar sobre como o derivado externo funciona em formas diferenciais. Pode parecer um jargão super - técnico, mas vou dividi -lo de uma maneira fácil de entender.

Primeiro, vamos falar um pouco sobre o que são as formas diferenciais. Em termos simples, as formas diferenciais são esses objetos matemáticos que são usados ​​para medir as coisas em um contexto geométrico e topológico. Eles são como pequenas ferramentas de medição que podem nos dizer sobre áreas, volumes e outras propriedades geométricas em diferentes dimensões.

Pense desta maneira: em um espaço 2 - dimensional, você pode usar uma forma diferencial para medir a área de um pequeno patch. No espaço 3 - dimensional, pode ajudá -lo a medir os volumes. E essas formas diferenciais vêm em diferentes graus. Um formulário 0 - é apenas uma função escalar, como uma função que fornece um número em cada ponto do espaço. Um formulário 1 - pode ser pensado como uma maneira de medir o quanto um campo de vetor "flui" ao longo de uma curva. Um formulário 2 - pode medir o "fluxo" de um campo vetorial através de uma superfície e assim por diante.

Agora, vamos à estrela do show: o derivado externo. O derivado externo é um operador que assume uma forma diferencial de um grau e cospe uma forma diferencial do próximo grau mais alto. É como uma máquina que leva uma ferramenta de medição para um tipo de quantidade geométrica e a transforma em uma ferramenta de medição para uma quantidade geométrica mais complexa.

Vamos começar com o caso mais simples: o derivado externo de um formulário 0. Um formulário 0 - é apenas uma função (f (x, y, z)) (no espaço 3 - D). O derivado externo (df) desta forma 0 - é uma forma 1 -. Nas coordenadas, se (f) é uma função de (x, y, z), então (df = \ frac {\ parcial f} {\ parcial x} dx+\ frac {\ parcial f} {\ parcial y} dy+\ frac {\ parcial f} {\ parcial zenal zenn \ parcial y} Aqui, (dx), (dy) e (dz) são as formas básicas 1 - associadas aos eixos de coordenadas.

A maneira como eu gosto de pensar é que (DF) nos diz como a função (f) muda à medida que nos movemos em direções diferentes. Os coeficientes (\ frac {\ parcial f} {\ parcial x}), (\ frac {\ parcial f} {\ parcial y}) e (\ frac {\ parcial f} {\ parcial z}) são apenas as taxas de (f) com (.

Agora, e se tivermos um formulário 1 - (\ omega = pdx + qdy + rdz)? O derivado externo (d \ ômega) desta forma 1 - é uma forma 2 -. Usando as regras da diferenciação externa, temos (d \ omega = (\ frac {\ parcial r} {\ parcial y}-\ frac {\ parcial q} {\ parcial z}) dydz+(\ frac {\ parcial p} {{}}}}-\ \} x}) dzdx+(\ frac {\ parcial q} {\ parcial x}-\ frac {\ parcial p} {\ parcial y}) dxdy).

Isso pode parecer um pouco intimidador no começo, mas tem uma boa interpretação geométrica. No contexto do cálculo vetorial, se pensarmos no formulário 1 - (\ ômega) como relacionado a um campo vetorial (\ vec {f} = (p, q, r)), então (d \ ômega) está relacionado ao curto do campo vetorial. O cacho de um campo vetorial mede o quanto o campo vetorial "gira" em torno de um ponto.

Vamos dar um passo atrás e ver por que isso é útil. Na física e engenharia, as formas diferenciais e a derivada externa são usadas o tempo todo. Por exemplo, no eletromagnetismo, as equações de Maxwell podem ser escritas de uma maneira muito elegante usando formas diferenciais e o derivado externo. Isso torna as equações mais gerais e fáceis de trabalhar em diferentes sistemas de coordenadas e em diferentes variedades.

Agora, vamos amarrar isso de volta ao nosso negócio de coletores. Oferecemos uma ampla gama de variedades para diferentes aplicações. Se você estiver procurando por alta qualidade [coletores de aço inoxidável com válvulas] (/válvula/coletores/coletores de aço inoxidável - com - válvulas.html), temos você coberto. Esses coletores de aço inoxidáveis ​​são duráveis ​​e podem lidar com condições difíceis. Eles são ótimos para aplicações em que a resistência à corrosão é uma obrigação.

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Então, como todo esse material de matemática se relaciona com nossos coletores? Bem, no projeto e análise dos coletores, geralmente precisamos lidar com fluxo de fluidos, distribuições de pressão e outras quantidades físicas. As formas diferenciais e o derivado externo podem ser usadas para modelar e analisar esses fenômenos físicos de uma maneira muito precisa. Por exemplo, quando estamos projetando um coletor para um complexo sistema de fluxo, podemos usar formas diferenciais para representar o fluxo do fluido como uma forma 1 - ou uma forma 2 - e depois usar o derivado exterior para estudar como o fluxo muda sobre o espaço.

Em conclusão, o derivado externo em formas diferenciais é uma poderosa ferramenta matemática que possui muitas aplicações em física, engenharia e até em nosso dia - trabalho diário para projetar e fornecer coletores. Se você estiver no mercado de coletores de alta qualidade, não hesite em nos alcançar para uma discussão detalhada sobre suas necessidades. Estamos aqui para ajudá -lo a encontrar a solução perfeita para o seu projeto.

Referências

• "Formas e Aplicações Diferenciais", de Manfredo P. Do Carmo
• "Uma introdução aos coletores", de Loring W. Tu