O que é um cobordismo entre os coletores?

No domínio da matemática, o conceito de cobordismo entre os coletores é uma idéia profunda e intrincada que tem implicações em muito, não apenas em matemática pura, mas também em vários campos aplicados. Como fornecedor de coletores de alta qualidade, descobri que entender a essência matemática dos coletores e seus cobordismos pode oferecer uma perspectiva única de nossos produtos.

Compreensão de coletores

Antes de investigar o cobordismo, é essencial ter um entendimento claro do que são os coletores. Um coletor é um espaço topológico que se assemelha localmente ao espaço euclidiano. Em termos mais simples, se você aumentasse o zoom em qualquer ponto de um coletor, pareceria um pedaço de um espaço plano e comum. Por exemplo, a superfície de uma esfera é um coletor de duas dimensões. Localmente, um pequeno pedaço na esfera parece um plano plano, assim como o chão ao nosso redor parece plano, mesmo que a terra seja uma esfera.

Os coletores vêm em diferentes dimensões. Um coletor unidimensional pode ser pensado como uma curva, como um círculo ou um segmento de linha. Os coletores dimensionais de duas são superfícies, como a esfera acima mencionada, um toro (a forma de uma rosquinha) ou um plano plano. Os coletores dimensionais mais altos são mais abstratos, mas são cruciais em muitas áreas de matemática, física e engenharia.

O conceito de cobordismo

O cobordismo é uma relação entre dois coletores. Dados dois coletores (m) e (n) da mesma dimensão (n), um cobordismo entre (m) e (n) é um coletor dimensional ((n + 1)) - (w) cujo limite (\ parcial w) é a união discoint de (m) e (n), ie, (\ parcial w = m \ sqcup n).

Para visualizar isso, considere dois círculos (coletores unidimensionais). Podemos encontrar um cobordismo entre eles. Um possível cobordismo é um cilindro. O limite de um cilindro consiste em dois círculos, um em cada extremidade. Portanto, neste caso, o cilindro é o coletor bilimensional (W) que serve como um cobordismo entre os dois círculos dimensionais (m) e (n).

O cobordismo é uma ferramenta poderosa na topologia, porque nos permite classificar os coletores. Dois coletores que são cobordantes compartilham certas propriedades topológicas. Por exemplo, se dois coletores forem cobordantes, eles têm os mesmos números de Stiefel - Whitney, que são importantes invariantes topológicos.

Significado matemático do cobordismo

Na topologia algébrica, os grupos de cobordismo desempenham um papel central. O conjunto de todos os coletores dimensionais (n) (n) até o cobordismo forma um grupo. Essa estrutura de grupo ajuda os matemáticos a estudar as relações entre diferentes variedades de maneira sistemática. Por exemplo, o cálculo dos grupos de cobordismo pode fornecer informações sobre a existência de certas estruturas geométricas nos coletores.

O cobordismo também tem conexões profundas com outras áreas da matemática, como geometria diferencial e geometria algébrica. Na geometria diferencial, o estudo dos cobordismos pode ajudar a entender o comportamento dos campos vetoriais e formas diferenciais nos coletores. Na geometria algébrica, o cobordismo pode estar relacionado ao estudo de variedades algébricas e suas propriedades topológicas.

Aplicações em física

Na física, especialmente na teoria quântica do campo e na teoria das cordas, os cobordismos são usados ​​para descrever a evolução dos sistemas físicos. Por exemplo, em uma teoria do campo quântico em um coletor, um cobordismo pode representar um processo em que o estado do sistema muda de um coletor (estado inicial) para outro (estado final). O coletor de cobordismo ((n + 1)) - dimensional pode ser considerado como a "história" do sistema durante a transição.

A teoria das cordas, que visa unificar todas as forças fundamentais da natureza, também faz uso extensivo de cobordismos. As cordas se movem pelo espaço - tempo, que pode ser modelado como um coletor. A interação das cordas pode ser descrita em termos de cobordismos entre diferentes variedades de espaço.

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Referências

• Milnor, John W. e James D. Stasheff. Classes características. Princeton University Press, 1974.
• Kosinski, Antoni A. coletores diferenciais. Academic Press, 1993.
• Freed, Daniel S. e Karen K. Uhlenbeck. Instons e quatro - coletores. Springer - Verlag, 1991.